Para simplificar a expressão \(\frac{x^3 – 3x^2 – 9x + 27}{x^2 – 9}\) em que \(x \neq 3\), precisamos seguir alguns passos de álgebra.
Primeiramente, observe que o denominador \(x^2 – 9\) pode ser fatorado como \((x – 3)(x + 3)\).
Agora, vamos fatorar o numerador \(x^3 – 3x^2 – 9x + 27\). Para isso, podemos usar a técnica de fatoração por agrupamento ou reconhecer um padrão. Notamos que \(x^3 – 3x^2 – 9x + 27\) pode ser reescrito como \((x – 3)(x^2 + ax + b)\).
Para encontrar os valores de \(a\) e \(b\), expandimos \((x – 3)(x^2 + ax + b)\):
\[(x – 3)(x^2 + ax + b) = x^3 + ax^2 + bx – 3x^2 – 3ax – 3b\]
Simplificando, obtemos:
\[x^3 + (a – 3)x^2 + (b – 3a)x – 3b\]
Comparando com o numerador original \(x^3 – 3x^2 – 9x + 27\), temos:
\[a – 3 = -3 \implies a = 0\]\[b – 3a = -9 \implies b – 0 = -9 \implies b = -9\]
Portanto, o numerador pode ser fatorado como \((x – 3)(x^2 – 9)\).
Agora, substituímos os fatores encontrados na expressão original:
\[\frac{(x – 3)(x^2 – 9)}{x^2 – 9}\]
Como \(x \neq 3\), podemos cancelar o termo comum \((x^2 – 9)\) no numerador e no denominador:
\[\frac{(x – 3)(x^2 – 9)}{x^2 – 9} = x – 3\]
Portanto, a expressão simplificada é \(x – 3\).
